Question

高中数学题.圆与方程..

设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.
(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.

Answer 1

（1）
设：C（a，b），因为圆交x轴于E点，同时交y轴于E点，则圆经过坐标原点（O，0）于是：EC为圆半径：EC=√（a²+b²）
圆方程：（x-a）²+（y-b）²=a²+b²
分别令x=0，y=0，求出点B坐标（0,2b），点A坐标（2a，0）
过AB的直线方程为：x/2a +y/2b=1
可知：圆心C(a，b）在直线AB上。
于是四边形EACB实际就是三角形AEB，其面积为：2a*2b/2=2ab
又C在y=2/x上，b=2/a
代入面积2ab=2a*（2/a）=4
（2）
由（1）知：EC为圆半径， 而MN为圆上两点，则MN为圆C的弦，且|EM|=|EN|,
于是：EC⊥MN， MN的斜率为：-2， 则：EC的斜率为：1/2
于是：（b-0）/（a-0）=1/2
b/a=1/2
由（1）知：b=2/a
联立上面两式求得：a=2，b=1，
于是圆的方程为：(x-2)²+(y-1)²=5

Answer 2

由题意可得E点是在原点，则BC、CA是半径，这个图在这儿画不出来，自己画吧。假设圆心C（x,2/x）,过C点做AE的高交于H点，过C点再做BE的高交于F点，这个四边形的面积可以看成是梯形BEHC与三角形CHA的面积之和，因为EH=x,CH=2/x,则半径BC=CE=CA=根号下x平方+2/X平方，所以BE=2倍开根号下CE的平方-CF的平方，得BE=4/x,所以，面积=（2/x+4/x）*x/2+x*2/x/2=4

Answer 3

圆心C(3,4)
设P(x,y)
d=y^2+(x+1)^2+y^2+(x-1)^2=2y^2+2x^2+2
d/2-1=y^2+x^2
直线OC方程y=4x/3
OC与圆的交点坐标分别为(18/5,24/5),(12/5,16/5)
当P(18/5,24/5)时
d/2-1=(24^2+18^2)/25
d=74最大
当P(12/5,16/5)时
d/2-1=(12^2+16^2)/25
d=34最小

Answer 4

设P(x,y),得d=2x^2+2y^2+2=2[(x-0)^2+(y-0)^2]+2，这里可以看成圆上点到原点距离两倍再加二，所以过圆心和原点作直线交于圆的最远点就是p点，d的最大值是圆心到原点加半径，最小即减