Question

在线等，急急急！两个高一数学题！最好有过程和答案。

1、已知直线l1:y=x与直线l2:y=-√3/3x,在两直线的上方有一点P，P到l1,l2的距离分别是2√2和2√3，又过点P分别作l1,l2的垂线，垂足分别为A、B
（1）求P点坐标（2）求线段AB的长度（3）过P作直线l，使直线l与直线l2,l2围成以OP为其一条中线的三角形，求直线l的方程。
PS：这个应该不难，1和2我都做了，只是3我算到后来觉得看不见希望了，还是我的方法不好，清各位大虾帮我算算？
2、直线l1:y=mx+1和l2:x=-my+1相交于点P，其中常数m满足|m|<1
(1)证：l1,l2分别过定点A，B（2）求△APB的面积S的最大值
这题为什么我算出来面积是定值呢，肯定拿不对了，请大家写下过程教我下。

Answer 1

1解：（1）（0，4）；
（2）√2+√6
（3）设l和l1、l2相交于M（y1，y1）、N（-√3y2，y2），过M、N作x轴的垂线，垂足分别是M'(y1,0）、N’（-√3y2，0）
由OP是三角形OMN中线得，OP是梯形MM'N'N得中位线，且OM’=ON'
∴y1+y2=8且y1=√3y2
解得y1=12-4√3，y2=4√3-4
∴x1=12-4√3，x2=4√3-12
所以l斜率为（12-4√3-4）/(12-4√3)=(3-√3)/6
∴直线l方程为y=(3-√3)x/6+4

2解：（1）很简单，两直线显然垂直，A点（0,1）、B点（1,0）
（2）联立两直线的解析式，解得P点就是（（1-m）/(1+m^2),(1+m)/(1+m^2)）
过P点求到直线AB的距离就是△APB边AB的高，
易求得直线AB的解析式：y=-x+2/（1+m^2）
∴该高是[2/（1+m^2）-1]/(√2)
∴面积=1/2×√2×[2/（1+m^2）-1]/(√2)=1/2×(1-m^2)/(1+m^2)=1/2[2/(1+m^2)-1]≥1/2[2-1]=1/2(当m=0时取到最大值)

Answer 2

P(0,4)
A(2,2),B(-√3,1)
OP所在直线方程：y=4x
以OP为中线，L过P点，L的方程设为：
y-4=kx
L2:y=-x√3/3
求交点
4+kx=-x√3/3
(k+√3/3)x=-4
xo=-4/(k+√3/3),yo=4-4k/(k+√3/3)
P,O都可以是中点，三角形的另外一个点呢？
没有说。怎么解？

2、
求交点P
x=-m(mx+1)+1
x(1+m^2)=1-m
xp=(1-m)/(1+m^2);yp=m(1-m)/(1+m^2)+1=(1+m)/(1+m^2)
2条直线L1,L2和X轴的夹角的锐角互余，这是求面积的切入点
L1:过定点A(0,1),
L2:过定点B(1,0)
S=yp*(1+1/m)*0.5-0.5*1*(1+1/m)
=0.5*(1+m)^2/m(1+m^2)-0.5*(1+m)/m
=0.5*[(1+m)^2-(1+m)(1+m^2)]/m(1+m^2)
=0.5(1+m)(1+m-1-m^2)/m(1+m^2)
=0.5(1-m^2)/(1+m^2)
=1/(1+m^2)-0.5
m=0,1+m^2最小，1/(1+m^2)最大=1
Smax=1-0.5=0.5

Answer 3

把图像画出来。