Question

一道初二数学题

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH,FM垂直MH （2）将图（1)中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：三角形FMH是等腰三角形 （3）将图2中的CE缩短到图3的情况，三角形FMH还是等腰直角三角形吗？

Answer 1

1、（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，

又∵点N与点G重合，点M与点C重合，

∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．

∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH

∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM

（2）证明：连接MB、MD，如图23-2，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，

∴MD‖BC，且MD = BC = BF；MB‖CD，

且MB=CD=DH

∴四边形BCDM是平行四边形．∴ ∠CBM =∠CDM

又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．∴△FBM ≌ △MDH

∴FM = MH， 且∠MFB =∠HMD

又∵MD‖BC，∴∠FMD＝∠APM，

∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．

∴△FMH是等腰直角三角形

（3）解：△FMH是等腰直角三角形证法类似（2）

Answer 2

(1)BCGF和CDHN都是正方形，
点N与点G重合时，点M与点C重合，
∴GMBF和GMDH是边长相等的两正方形
∴FM=MH,
∵∠FMG=∠GMH=45º
∴∠FMH=90º
∴FM⊥MH

(2)