Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-√3(sinx)^2+sinxcosx

求（1）函数f(x)的递增区间
（2）函数f(x)的最大值和最小值
（3）方程f(x)=x/50π的根的个数

Answer 1

注：所有无理数“派”用pi表示

f(x)=2cosxsin(x+π/3)-√3(sinx)^2+sinxcosx
=2cosx(sinx/2+√3cosx/2)-√3(1-cos2x)/2+sin2x/2

=sinxcosx+√3(1+cosx)/2-√3/2+√3cos2x/2+sin2x/2
=sin2x+√3cos2x
=2sin(2x+pi/3)

（1）

单增区间 2x+派/3属于[2kpi-pi/2,2kpi+pi/2]

解得x属于[kpi-5pi/12,kpi+pi/12] （k属于Z）

（2）
最大值2 最小值-2

（3）要想有焦点f(x)必须得在正弦函数值域内，先求出f(x)属于[-2,2]

所以x属于[-100pi,100pi]

整个图像关于原点对称，所以只要求出一边乘2就可以了

当x=100pi时，最大的周期终点是99pi+pi/12，距离远点正好是100个周期

100个周期，有100个波峰，每个波峰交2个点，所以总共200个点

一边是200个，所以总共400个点

所以该方程一共有400个根