Question

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不定方程 x^2+y^2+z^2-xyz+10=0 的正整数解（x,y,z）满足x,y,x均大于2008的不同解的数目为k，则k满足
A.k=0 B.[1,2008] C.＞2008但有限 D.k是无穷大

已知数列a1,a2,a3......an
满足a1=1,a2=1,a(n+1)=(n^2×an^2+5)/[(n^-1)a(n-1)]
求通项
分母是(n^2-1)a(n-1)

Answer 1

第一道题 首先我们设x y z为方程的一组正整数解，则对方程，我们以z为主元，得到z^2-xyz+x^2+y^2+10=0,由韦达定理可得，z1+z2=xy
z1看做我们已知的解中的z，则z2=xy-z，显然，对每一组确定的x,y有z和xy-z与之对应，因此若
x y z为方程一组解，则x y xy-z也为方程一组解，观察发现3 4 5为方程一组解，我们将其看做一组基础解，则3 4 7也为一组解，由方程轮换对称性，我们每次将z取为最小，即将3 4 7写为7 4 3，则7 4 25也为一组解，以此递推，最后可以找到无数组大于2008的不同解，因此k的数目为无穷大。
第二道题 a(n+1)=(n^2*an^2+5）/(n+1)(n-1)a(n-1),将(n+1)乘过去，有（n+1)a(n+1)={(n*an)^2+5)}/{(n-1)a(n-1)},我们另nan=bn，则可以将式子换为，b(n+1)=(bn^2+5)/b(n-1),
b(n+1)b(n-1)=bn^2+5,bnb(n-2)=b(n-1)^2+5
消去5可得，bn^2-b(n+1)b(n-1)=b(n-1)^2-bnb(n-2),bn(bn+b(n-2))=b(n-1)(b(n-1)+b(n-1)),
再整理得bn/(b(n-1)+b(n+1))=b(n-1)/(bn+b(n-2)),若设等式左边为cn，则右边为c(n-1)，则cn=c(n-1),cn为一个常数列，根据数列前几项即可求出cn，最后就有bn=mb(n-1)+mb(n+1),其实cn=m，m根据前面数列前几项已求出，而此时得出的这个可以通过特征方程求解，如果不用特征方程也可以用配方法，配为，(bn-tb(n-1))=k(b(n-1)-tb(n-2))的形式求解，其中k,t为常数，此为等比数列，求出后再通过错位相消的办法即可求出bn，求出bn后，即可求出an，过程有点复杂，有些地方我就没算了哈~

Answer 2

解：因为(n+1)[a(n+1)]^2-n[an]^2+(an+1)(an)=0
所以[a(n+1)+an][(n+1)a(n+1)-nan]=0
因此a(n+1)=-an，或者a(n+1)=nan/(n+1)

对应以上两种情形可分别求出通项公式：
(1）an=(-1)^(n-1), n=1,2,3,...
(2) an=1/n, n=1,2,3,...
均符合要求。