Question

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2 若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以 f’(x)= e^x(x+1)-2ax-1
而f(0)=0 要使 f(x)>=在x>=0上恒成立
则 f’(x)>=0要恒成立
即 e^x(x+1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<= (e^x(x+1)-1）/(2x)，设t(x)= (e^x(x+1)-1）/(2x)，则t’(x)= e^x*x^2+ e^x*x- e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)= e^x(x+1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)= e^x*x+ e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<= e^x(x+1)/2
令p(x)= e^x(x+1)/2
则p’(x)=(e^x*x+e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2

哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。

Answer 2

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以
f’(x)=
e^x(x+1)-2ax-1
而f(0)=0
要使
f(x)>=在x>=0上恒成立
则
f’(x)>=0要恒成立
即
e^x(x+1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<=
(e^x(x+1)-1）/(2x)，设t(x)=
(e^x(x+1)-1）/(2x)，则t’(x)=
e^x*x^2+
e^x*x-
e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)=
e^x(x+1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)=
e^x*x+
e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<=
e^x(x+1)/2
令p(x)=
e^x(x+1)/2
则p’(x)=(e^x*x+e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2
哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。

Answer 3

这道题得用二重导，而且我最后也没全算出来，只能把思路给你
已知f(x)定义域R
求导f'(x)=e^x-1-2ax
再求导[f'(x)]'=e^x-2a
分类讨论
当-2a>=0,即a=<0时
[f'(x)]'在（0，正无穷）上恒为正，所以f'(x)在（0，正无穷）上递增，且f(0)最小值
代入计算f'(0)=0,所以f'(x)过原点，且在（0，正无穷）上>=0
所以f(x)也过原点，在（0，正无穷）上递增，正好符合f(x)>=0
当-1=<-2a<0，即0<a=<1/2时
[f'(x)]'在（0，正无穷）上恒为正，跟第一种情况一样
当-2a<-1,即a>1/2时
[f'(x)]与x轴交于点（ln2a）
所以不难看出f'(x)在（0，ln2a）上递减，在[ln2a,正无穷）上递增
但是下面就有问题了，要想继续研究下去，要求出f'(x)=0的解，也就是e^x-1-2ax的解
虽然可以看出第一个解是0，但这个方程式超越方程，第二个解我不会解，但是可以把思路告诉你
设这个方程的第二个解是m，（m是个含a的式子）
则f(x)在（0，m）上递减，在[m，正无穷）上递增
令最小值f(m)>=0，算出范围，在与a>1/2去交集就可以了，最后解得a的范围为K(这个也是设的，只是把思路给你)
综上，a的范围是（负无穷，1/2]和K

Answer 4

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以
f’(x)=
e^x(x
1)-2ax-1
而f(0)=0
要使
f(x)>=在x>=0上恒成立
则
f’(x)>=0要恒成立
即
e^x(x
1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<=
(e^x(x
1)-1）/(2x)，设t(x)=
(e^x(x
1)-1）/(2x)，则t’(x)=
e^x*x^2
e^x*x-
e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)=
e^x(x
1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)=
e^x*x
e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<=
e^x(x
1)/2
令p(x)=
e^x(x
1)/2
则p’(x)=(e^x*x
e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2
哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。

Answer 5

f(x)=x(e^x-1)-ax2
所以f’(x)=e^x(x+1)-2ax-1
而f(0)=0要使f(x)>=在x>=0上恒成立
则f’(x)>=0要恒成立
即e^x(x+1)-2ax-1>=0
（这里我认为不能将a分离出来：a<=(e^x(x+1)-1）/(2x)，设t(x)=(e^x(x+1)-1）/(2x)，则t’(x)=e^x*x^2+e^x*x-e^x-1，令t’(x)=0，得x=0，而t(x)中x不能为0)
令g(x)=e^x(x+1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)=e^x*x+e^x-2a>=0
（这时候可以分离a了）
所以a<=e^x(x+1)/2
令p(x)=e^x(x+1)/2
则p’(x)=(e^x*x+e^x)/2，令p'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为p(x)极小值点
而x>=0，则p(x)最小值为p(0)=1/2
所以a<=1/2
哥们也不知道对不对。这题计算量比较大，要二次求导。我省了一些步骤。有问题可以交流。