Question

如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G

⑴求证：EG*GF=CG*GD
⑵连接DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结论

Answer 1

1）证明：连接ED，（1分）
∵点E在菱形ABCD的对角线AC上，
∴∠ECB=∠ECD，（2分）
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE；（3分）
∴∠EDC=∠EBC，（4分）
∵EB=EF，
∴∠EBC=∠EFC；（5分）
∴∠EDC=∠EFC；（6分）
∵∠DGE=∠FGC，
∴△DGE∽△FGC；（7分）
∴EGCG=GDFG，∴EG•GF=CG•GD；（8分）
（2）解：∠ADC=2∠FDC．（9分）
证明如下：∵EGCG=GDFG，∠DGF=∠EGC，
∴△DGE∽△FGC；（10分）
∵EF⊥CD，DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°-∠FDC，（11分）
∴∠ADC=180°-2∠DAC=180°-2（90°-∠FDC）=2∠FDC．（12分）