Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），记h(x)＝f(x)−1/f(x)

若(2^x)h（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解答：
设F(x)=(2^x)h（2x）+mh（x）
=(2^x)*[2^(2x)-1/2^(2x)]+m[2^x-1/2^x]
=2^(3x)-1/2^x+m*2^x-m/2^x

令t=2^x,则t∈[2,4]
即 t³-1/t+mt-m/t≥0恒成立
∴ m(t-1/t)≥1/t-t³
∵ t-1/t>0
∴ m≥(1/t-t³)/(t-1/t)=(1-t^4)/(t^2-1)=-（1+t²）恒成立
∵ -（1+t²）的最值是-5
∴ m≥-5

Answer 2

g（x）=-x²+2x+b（b∈R），
干什么用的？？

追问

好像没有什么用处

追答

你确定原题不是
记h(x)＝g(x)−1/f(x)???

追问

这样吧，我把整个题目都发给你，你帮我回答一下第三问就可以了

追答

h(x)＝f(x)−1/f(x)=2^x-2^(-x)
h(2x)＝f(2x)−1/f(2x)=2^(2x)-2^(-2x)=(2^x-2^(-x)))(2^x+2^(-x))

(2^x)h（2x）+mh（x）=
(2^x)(2^x-2^(-x))(2^x+2^(-x))+m(2^x-2^(-x))
=(2^x-2^(-x))[(2^x)(2^x+2^(-x))+m]≥0
x∈[1，2], (2^x-2^(-x))>0
于是
(2^x)(2^x+2^(-x))+m≥0
4^x+1+m≥0 (1)
当x∈[1，2]时，4<=4^x<=16
5<=4^x+1<=17
若（1）式恒成立，则
m≥－5