Question

已知圆C：（x-3)^2+(y-4)^2=4 直线L1过定点（1,0）

已知圆C：（x-3)^2+(y-4)^2=4 直线L1过定点（1,0）
若L1与圆相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M，又L1与L2：x+2y+2=0的交点为N。求证AM*AN为定值。
告诉我那个定值是几

Answer 1

证明：设直线l1，m(x-1)+ny=0 两直线交点N坐标[2(m+n)/(2m-n)，-3m/(2m-n)]AN^2=9(m^2+n^2)/(2m-n)^2 则AM^2=(AC^2-CM^2)，根据点到直线距离公式CM^2=4(m+2n)^2/(m^2+n^2)AM^2=20-4(m+2n)^2/(m^2+n^2)=4(2m-n)^2/(m^2+n^2) 所以AM*AN=√(AM^2*AN^2)=6命题获证。

Answer 2

定值是-6

Answer 3

设直线l1方程为y=k(x-1)
(1)
与l2:
x+2y+2=0的交点为
n（（2k-2）/（2k+1），-3k/（2k+1））
an^2=(x-1)^2+y^2=(9+9k^2)/（2k+1）^2
=9(k^2+1)^2/（2k+1）^2
cm与直线l1方程为y=k(x-1)为
m((k^2+4k+3)/(k^2+1),
(4k^2+2k)/(k^2+1))
am^2==(x-1)^2+y^2
=(4k+2)^2/(k^2+1)^2+(4k^2+2k)^2/(k^2+1)^2
==(4k+2)^2(1+k^2)/(k^2+1)^2
(an*am)^==9(1+k^2)/（2k+1）^2×(4k+2)^2×(1+k^2)/(k^2+1)^2
=9×4=36
∴am*an为定值
6
这题做得好辛苦呀