Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1,0），F2（1,0），短轴的两个端点分别为B1，B2

（1）若三角形F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且向量F1P垂直向量F1Q，求直线l的方程

Answer 1

解答：解：（1）设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
根据题意知

a＝2b
a2−b2＝1

，解得a2＝
4
3
，b2＝
1
3

故椭圆C的方程为
3x2
4
+3y2＝1．
（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为
x2
2
+y2＝1．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由

y＝k(x−1)

x2
2
+y2＝1

，得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
x1+x2＝
4k2
2k2+1
，x1x2＝
2(k2−1)
2k2+1
，

F1P
＝(x1+1，y1)，

F1Q
＝(x2+1，y2)
因为

F1P
⊥

F1Q
，所以

F1P
•

F1Q
＝0，即
(x1+1)(x2+1)+y1y2＝x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1−1)(x2−1)
=(k2+1)x1x2−(k2−1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1)
2(k2−1)
2k2+1
−(k2−1)
4k2
2k2+1
+k2+1
=
7k2−1
2k2+1
＝0，解得k2＝
1
7
，即k=±

7

7
．
故直线l的方程为x+
7
y−1＝0或x−
7
y−1＝0．