Question

已知F1,F2是椭圆x²/a²+y²/b²=1的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1,√2/2）在椭

已知F1,F2是椭圆x²/a²+y²/b²=1的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1,√2/2）在椭圆上，且PF1向量×PF2向量=0.圆O是以F1F2为直径的圆，直线y=kx+m与圆O相切，并且与椭圆交于不同的两点A,B（1）求椭圆的标准方程（2）当OA向量乘OB向量=2/3时求k的值

Answer 1

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过P(-1，√2/2），
∴1/a^2+1/(2b^2)=1,①
由PF1向量×PF2向量=0，得(c+1)(-c+1)+1/2=0,a^2-b^2=c^2=3/2,a^2=b^2+3/2,代入①，
3b^2+3/2=2b^2(b^2+3/2),
化简得b^4=3/4,b^2=√3/2，a^2=(3+√3)/2,
∴椭圆的方程是x^2/[(3+√3)/2]+y^2/(√3/2)=1.②
(2)以F1F2为直径的圆O与直线y=kx+m③与圆O相切，
∴|m|/√(k^2+1)=c,
平方得m^2=(k^2+1)c^2=3(k^2+1)/2,
把③代入②，繁！请检查题目