Question

这题数学平面几何证明难道无解？问了这么久都没人帮帮忙？

Answer 1

原命题即为证明：BCFG四点共圆

设AD延长与ABC外接圆O交予M

下面我们证明F，G在以M为圆心，MB为半径的圆M上

为此我们采取同一法

假设F‘，G’在圆M上并且BF‘E，CG’E分别共线

只要我们能证明AF‘⊥F’C，AG‘⊥G’B

则可以得到FF'，GG'分别重合

即可证明本体结论

接下来我们假设F，G在圆M上并证明AF⊥FC，AG⊥GB

由三角形的内外心性质可知

三角形ABC的内心I，A所对的外心N均在圆M上（计算相应圆周角和圆心角即可）

BI，BN分别为ΔABD的内角平分线和外角平分线

因此(A,D;I,N)构成一组调和点列

E为AD中点，由调和点列的性质可以得到

EA²=EI·EM

由割线定理

EI·EM=EF·EB

因此EA²=EF·EB

ΔEAB∽ΔEFA

∴∠AFE=∠BAE=∠BAC/2

而∠EFC=180°-∠BEC=180°-∠BIC=90°-∠BAC/2

因此∠AFC=∠AFE+∠EFC=90°

AF⊥FC

同理可得AG⊥GB

因此本题得证

追问

为什么只要证明BCGF四点共圆？

追答

只要证明四点共圆，那么∠EBG和∠ECF都是FG所对圆周角，从而大小相等

追问

哦

反证法吗？

追答

证明过程里写了用同一法，假设EGBC均在圆M上，反过去证明垂直

追问

哦哦！

谢了