Question

已知三角形ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，连接AP，求证：AC的平方=AP的平方+CP乘BP

Answer 1

作BC中点O，连接AO，假设P点在OC上（在OB上同证）
因为AB=AC，等腰三角形，所以有AOC和ABO为直角三角形，即
AB^2 = AC^2 = OB^2 + AO^2 = AO^2 + OC^2
直角三角形AOP中AP^2 = AO^2 + OP^2
还有CP*BP = （BO + OP）* (OC - OP) = OB*OC - OB *OP + OC*OP -OP^2
带入OB = OC， CP*BP = OB^2 - OP^2
AP^2 + CP * BP = AO^2 + OP^2 + OB^2 - OP^2 = OB^2 + AO^2 已知AC^2 = OB^2 + AO^2
所以AP^2 + CP * BP = AC^2得证

Answer 2

从A点做垂线与BC相交于O点AC2=AO2+OC2AC2=AP2-OP2+CO2AC2=AP2+（OC2-OP2）AC2=AP2+[OC2-（OC-CP）2]AC2=AP2+[OC2-（OC2-2OC*CP+CP2）]AC2=AP2+（OC2-OC2+2OC*CP-CP2）AC2=AP2+CP（2OC-CP） 2OC=BCAC2=AP2+CP（BC-CP）AC2=AP2+CP*BP