Question

设x,y为正数，且xy-(x+y)=1，则x+y的最小值为多少

Answer 1

x+y+1=xy<=(x+y)^2/4
于是(x+y)^2-4（x+y)>=4
(x+y-2)^2>=8
x+y-2是非负整数
所以（x+y-2)^2>=9
即x+y>=5
当x=2 y=3时 xy-(x+y)=1且 x+y=5
所以x+y最小值是5

Answer 2

设 x+y=t ，显然 t>0
由完全不等式：4xy ≤ (x+y)² ,
得 xy ≤ t²/4
所以 1= xy - (x+y) ≤ t²/4 - t
化简得， t² - 4t - 4 ≥ 0
解得 ， t ≥ 2+2√2
即 x+y 的最小值为 2+2√2 。