Question

如果方程x²+px+q=0的两个根是x1,x2，那么x1+x2=-p,x1·x2=q.请根据以上结

论，解决下列问题。
⑴已知关于x的方程x²+mx+n=0(n≠0),求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
⑵已知a,b满足a²-15a-5=0,b²-15b-5=0,求a／b+b／a的值；
⑶已知a,b,c均为实数，且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值。

Answer 1

1）方程x^2+mx+n=0(n≠0)的两根为x1.x2,
且x1+x2=-m,x1*x2=n
新方程的两根为y1,y2,
y1+y2=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1*x2=-m/n
y1*y2=1/x1*(1/x2)=1/x1*x2=1/n
所以新方程为y^2+(m/n)y+1/n=0,
整理：ny^2+my+1=0

2)依题意，a,b是方程x^2-15x-5=0的两根，
所以a+b=15,ab=-5
所以 a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab
=15^2-2*(-5)
=225+10
=235
所以a/b+b/a
=a^2/ab+b^2/ab
=(a^2+b^2)/ab
=235/15
=47/3

3)整理，a+b=-c,ab=16/c
所以a,b是方程x^2+cx+16/c=0的两根，
所以判别式=△
=b^2-4ac
=c^2-4*(16/c)≥0
即c^2≥64/c
因为c>0
所以c^3≥64
所以正数c的最小值为4