Question

如图，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，E、 F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.

（1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积。
（2）求证：BE²+CF²=EF²

Answer 1

（1）
延长FD至G，使DG＝DF，连结BG、AD、EG，则：
∴△CDF≌△BDG
∴∠DBG＝∠C＝45°，BG＝CF＝5
∴EG＝√(BG^2＋BE^2)＝13
∵DE⊥DF，DE＝DF
∴EG＝EF
∵∠ADE＋∠ADF＝90°＝∠ADF＋∠CDF
∴∠ADE＝∠CDF
∵AD＝CD，∠DAE＝∠C＝45°
∴△ADE≌△CDF
∴DE＝DF
∴∠DFE＝45°
∴EG＝EF
∴∠DGE＝45°
∴△EFG是等腰直角三角形
∴S△DEF＝1/2S△EFG＝1/2×1/2EG·EF＝169/4
（2）
延长FD到G是使FD=DG，
则EF=EG，
BG垂直于BE，
有EF方=EG方=BG方+BE方=CF方+BE方BE²+CF²=AF²+AE²=EF².

Answer 2

证明：（1）延长FD至G，使DG＝DF，连结BG、AD、EG，
∴△CDF≌△BDG
∴∠DBG＝∠C＝45°，BG＝CF＝5
∴EG＝√(BG^2＋BE^2)＝13
∵DE⊥DF，DE＝DF
∴EG＝EF
∵∠ADE＋∠ADF＝90°＝∠ADF＋∠CDF
∴∠ADE＝∠CDF
∵AD＝CD，∠DAE＝∠C＝45°
∴△ADE≌△CDF
∴DE＝DF
∴∠DFE＝45°
∴EG＝EF
∴∠DGE＝45°
∴△EFG是等腰直角三角形
∴S△DEF＝1/2S△EFG＝1/2×1/2EG·EF＝169/4
（2）延长FD到G是使FD=DG，
∴EF=EG，
∵BG垂直于BE，
∴EF²=EG²=BG²+BE²=CF²+BE²
∴BE²+CF²=AF²+AE²=EF².