Question

已知函数fx=ln(1+x)-x(1+λx)/(1+x) (1)x≥0时f(x)≤0,求λ的最小值

已知函数fx=ln(1+x)-x(1+λx)/(1+x) (1)x≥0时f（x）≤0，求λ的最小值 （2）an=1+1/2+1/3+……+1/n证明a2n-an+1/4n＞ln2

Answer 1

(1)最小值λ=1/2。过程是先将函数对x求导，得到两个极点0和(1-2λ)/λ，分别对λ<0,0≤λ≤1/2,λ>1/2三个区间进行讨论此函数在x属于[0，+∞)上的单调性，可知，λ<0不符合f（x）≤0的要求；

而当0≤λ≤1/2时，函数最小值为f(1-2λ)/λ)，即有f(1-2λ)/λ)≤0，展开化简得到
e^2(1-2λ)-1/λ+1≥0 0≤λ≤1/2
令g(λ)= e^2(1-2λ)-1/λ+1，求导，易知g(λ)在 0≤λ≤1/2上为单调递减函数。
所以g(λ)≥g(1/2)=0
所以λ=1/2。
（2）a2n-an+1/4n=1/(n+1)+2/(n+2)+...+1/(2n)+n/4≥1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)+n/4
=1/2+n/4≥3/4＞ln2

昨晚此题已是凌晨，我终于可以睡个踏实觉了。嘿嘿！