Question

高中数学竞赛平面几何证明问题

平面几何问题 已知过点O外一点Q作O的两条切线QE，QF和一条割线QDA，线段EF和AD交于点M。
求证：AM/DM=AQ/DQ。

Answer 1

本题用解析法相对容易，基本思路如下：

• 令圆的方程为x^2+y^2=1（单位圆）

• 令Q点坐标为(m,n)，则切点弦EF：mx+ny=1

• 令A点坐标为(cosα,sinα)，则割线AQ：y-n=[(sinα-n)/(cosα-m)]*(x-m)

• 联立切点弦EF与割线AQ求出M坐标

• 联立割线AQ与圆O求出Q点坐标

• 用定比分点公式，比较M分AD的系数和D分AQ的系数。若相等则结论得证

Answer 2

Answer 3

证明：

追答

设OQ∩EF=N
切割线定理：
OQ²－R²=EQ²=FQ²=DQ*AQ①
EF⊥OQ，OE⊥EQ，OF⊥FQ
射影定理：
R²=ON*OQ②
∴DQ*AQ=OQ*NQ③
作OG⊥AQ于G
则Rt△OGQ∽Rt△MNQ
∴GQ/NQ=OQ/MQ
∴MQ*GQ=OQ*NQ④
∴(AQ－AM)(DQ＋AQ)=2DQ*AQ
即AQ²－AQ*DQ－AM*AQ=AM*DQ
∴AQ*DM=AM*DQ
∴AM/DM=AQ/DQ

简洁解答，能看得懂？如果你能看懂，又怎么会提问？
小子，不思考，只想着不劳而获，很容易智障的，初中生都能解答的题，高中生却没辙，这是正常的IQ吗？

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