Question

设椭圆C:X2/a2+Y2/b2=1的右焦点为F，过F的直线L与椭圆C相交于A，B两点，直线L倾斜

设椭圆C:X2/a2+Y2/b2=1的右焦点为F，过F的直线L与椭圆C相交于A，B两点，直线L倾斜角为60度，AF=2FB。求椭圆C的离心率，如果AB=15/4，求椭圆C的方程

Answer 1

1.设出A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),
因为AF=2FB,即(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2), 即y1=-2y2
x^2/a^2+y^2/b^2=1与y=√3(x-c)联立，
得到(1/3b^2+a^2)y^2+(2b^2c/√3)y-b^4=0
y1+y2=-(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)=-y2, y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)
y1*y2=-b^4/(1/3b^2+a^2)=-2*y2^2, 2*y2^2= b^4/(1/3b^2+a^2)
将y2代入上式，得到b^4/(1/3b^2+a^2)=2*(4b^4*c^2/3)/ (1/3b^2+a^2)^2
即8c^2=b^2+3a^2, 即8c^2=a^2-c^2+3a^2,c^2=4/9a^2,e=2/3,
2.|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)|3y2|=
因为e=2/3,所以c=2/3a,b=√5/3a, 代入y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)
所以y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)=5 √3/24a
|AB|=√(1+1/k^2)|3y2|=(2√3/3)| 5 √3/8 a |=5/4a=15/4,
所以a=3, b=√5
所以x^2/9+y^2/5=1