Question

已知在等腰△ABC中，AB=AC，D为△ABC内的一点，且有∠ABD=2∠ACD， （1）如图①，

已知在等腰△ABC中，AB=AC，D为△ABC内的一点，且有∠ABD=2∠ACD，
（1）如图①，若∠ABC=60°，∠ABD=30°，则∠DAC= 度；
（2）如图②，若∠ABC=45°，∠BCD=30°，求证：∠DAC+∠DCA=30°；
（3）如图3，若∠BCD=30°，求证：∠DAC=∠DCA=30°。

Answer 1

提示
⑴先证⊿BDA≌⊿BDC(SAS)∴DA＝DC从而∠DAC＝∠DCA＝½∠ABD＝15°
⑵BC/BD＝sin∠BDC/sin∠BCD＝sin135°/sin30°＝sin45°/sin30°＝√2＝sin90°/sin45°＝BC/BA∴BD＝BA从而∠BAD＝∠BDA＝﹙180°－∠ABD﹚/2＝75°,∠DAC＝∠DCA＝15°
⑶设∠ACD＝α(0°＜α＜45°)。则∠ABD＝2α，∠DBC＝30°－α,∠BDC＝120°＋α,∠BAC＝120°－2α;
BC/BD＝sin﹙120°＋α﹚/sin30°＝2sin﹙60°－α﹚
BC/BA＝sin﹙120°－2α﹚/sin﹙30°＋α﹚＝2sin(60°－α)cos(60°－α)/sin﹙30°＋α﹚＝2sin﹙60°－α﹚＝BC/BD;∴BD＝BA；
在△ABC的内部作∠BAE＝∠CAD交∠ABD的平分线于E，连接BD、BE；则⊿ACD≌⊿ABE(ASA)≌⊿DBE(SAS)∴AD＝AE＝ED即△ADE是等边△，∠AED＝60°，从而∠DAC＋∠ACD＝∠EAB＋∠ABE＝180°－∠AEB＝180°﹣﹙360°－60°﹚/2＝30°。