Question

函数图像关于某一点对称

y=f(x-1)的图像关于(1，0)对称，f(x)为奇函数，为什么？偶函数也有这种题目吗？遇到这种题目该如何解

Answer 1

从平移的角度去理解比较容易
f(x-1)是由f(x)向右平移1个单位得到的
则：f(x-1)向左平移1个单位得到f(x)
f(x-1)关于(1,0)对称，左移1个单位后显然关于(0,0)对称
即：f(x)关于原点对称
所以，f(x)是奇函数

Answer 2

知识点：对于函数g(x)，

1. 若g(a+x)=-g(a-x)，则g(x)关于点(a，0)对称；

2. 若g(a+x)=g(a-x)，则g(x)关于直线x=a对称.

本题中，令g(x)=f(x-1)，则g(1+x)=f(x)，g(1-x)=f(-x)，

由于g(x)关于点(1,0)对称，有

g(1+x)=-g(1-x)

即f(x)=-f(-x)。