Question

观察下列算式 3的平方-1的平方=8=8*1 5的平方-3的平方=16=8*2 7的平方-5的平方

=24=8*3
9的平方-7的平方=32=8*4
......
(1)从中你能发现什么规律？试用代数式表述这个规律。
(2)利用第(1)题一系列反映规律的算式，能否写出求1+2+3+.....+n(n为正整数)的公式

Answer 1

(1)3^2-1^2=8*1=8*(1+1)/2; 5^2-3^2=8*2=8*(3+1)/2;类似的， 9^2-7^2=8*(7+1)/2。因此我们推测结论
（x+2)^2-x^2=8*((x+1)/2)即x+2的平方-x的平方=8*((x+1)/2)
(2)利用第一题的结论，8*(1+2+...+n)=3^2-1^2+5^2-3^2+7^2-5^2+...+(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1)^2-1=4n^2+4n。因此1+2+...+n=(n^2+n)/2=n(n+1)/2.
注：n^2表示 n的平方。