Question

多元隐函数求导与一元隐函数求导的异同?

高等数学在讲一元函数的隐函数求导时提供了一种类似解方程的隐函数求导法，在多元函数微分学中涉及多元隐函数求导时却使用了一种不同的（至少表面上不同）的借助偏导数的求导法则。即要求出两个偏导数，取其商的负值为隐函数的导数。
我略作尝试发现，将一元隐函数求导法则应用在多元隐函数上时，这两种法则求的的结果是一样的（当然只是尝试了很少的几个函数）。但是这两种法则计算起来似乎前者（即类似解方程的方法）更为简单，不易出错。我的疑问有两点，如下：
1、一元隐函数求导法则可否用于多元隐函数上？是不是我尝试的恰好是一些特别的函数才使得两个方法一样？
2、若是一元隐函数求导法则可以用在多元隐函数上，这两种法则是否本质上是一致的？是否存在谁包含谁的关系？
下图中的z’表示z对x的偏导，没有打下标。

Answer 1

显然是一样的，遇到这种情况的时候呢，LZ选例子推是可以，但一般来说我们用概括性的函数语言来推导会容易一点。
对于F(u,v)=0两边求导，其中u =x ,v =f(x)
F'u+F'v *f'(x) =0 (其中F'u是F对u的偏导数）
显然：
f'(x) = 你的公式
我们再看三元的情况：
对于F(X,Y,Z)=0,其中，Z=f(x,y)
F'X+F'Z *f'x=0
在这里就可以求出f(x,y)对x的偏导数，也就是Z对x的偏导数，这个就是你上面个方程的运算过程。

Answer 2

类似的例子很多，不过这并不覆盖所有的多元函数运算，你可以拿多几个例子试试，这个行不通

追问

可否有理论上的解答，为什么不可以。可否给我个反例，谢谢。

追答

做反证 用 X ，X+1 做假设 ，一元公式与多元公式合并，加入所有情况下合并公式可以，那基本上你验证了你的想法，但你会发现行不同

追问

不明白，可否直接给我一个多元函数，可以令两种方法得到不同的结果，谢谢。