已知函数f(x)=x^2-2ax+3,x属于[1,2],求函数的值域.请详细.
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推荐于2016-12-01 · 知道合伙人教育行家
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这题明显要分类讨论,根据对称轴的位置讨论。
f(x)=x^2-2ax+3=(x-a)^2+3-a^2 ,抛物线开口向上,对称轴 x=a 。
(1)当 a<1 时,函数在 [1,2] 上为增函数,因此值域为 [f(1),f(2)] ,即 [4-2a,7-4a] ;
(2)当 a>2 时,函数在 [1,2] 上为减函数,因此值域为 [f(2),f(1)] ,即 [7-4a,4-2a] ;
(3)当 1<=a<3/2 时,函数在 [1,a] 上减,在 [a,2] 上增,对称轴位于区间左半部分,
因此最小值在 x=a 处取,最大值在 x=2 处取,因此值域为 [f(a) ,f(2)] ,即 [3-a^2,7-4a] ;
(4)当 3/2<=a<=2 时,同理可得函数值域为 [f(a),f(1)] ,即 [3-a^2,4-2a] 。
f(x)=x^2-2ax+3=(x-a)^2+3-a^2 ,抛物线开口向上,对称轴 x=a 。
(1)当 a<1 时,函数在 [1,2] 上为增函数,因此值域为 [f(1),f(2)] ,即 [4-2a,7-4a] ;
(2)当 a>2 时,函数在 [1,2] 上为减函数,因此值域为 [f(2),f(1)] ,即 [7-4a,4-2a] ;
(3)当 1<=a<3/2 时,函数在 [1,a] 上减,在 [a,2] 上增,对称轴位于区间左半部分,
因此最小值在 x=a 处取,最大值在 x=2 处取,因此值域为 [f(a) ,f(2)] ,即 [3-a^2,7-4a] ;
(4)当 3/2<=a<=2 时,同理可得函数值域为 [f(a),f(1)] ,即 [3-a^2,4-2a] 。
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f(x)=x^2-2ax+3=(x-a)^2+3-a^2
1)当a≤1时,函数在[1,2]上单调递增
ymin=f(1)=1-2a+3=4-2a
ymax=f(2)=4-4a+3=7-4a
2)当1<a≤1.5时,f(1)<f(2)
ymin=f(a)=3-a^2
ymax=f(2)=4-4a+3=7-4a
3)当1.5<a≤2时,f(1)>f(2)
ymin=f(a)=3-a^2
ymax=f(1)=1-2a+3=4-2a
4)当a>2时,函数在[1,2]上单调递减
ymin=f(2)=4-4a+3=7-4a
ymax=f(1)=1-2a+3=4-2a
1)当a≤1时,函数在[1,2]上单调递增
ymin=f(1)=1-2a+3=4-2a
ymax=f(2)=4-4a+3=7-4a
2)当1<a≤1.5时,f(1)<f(2)
ymin=f(a)=3-a^2
ymax=f(2)=4-4a+3=7-4a
3)当1.5<a≤2时,f(1)>f(2)
ymin=f(a)=3-a^2
ymax=f(1)=1-2a+3=4-2a
4)当a>2时,函数在[1,2]上单调递减
ymin=f(2)=4-4a+3=7-4a
ymax=f(1)=1-2a+3=4-2a
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直接代入。分别求出两个值,即为值域。[2-2a,8-4a]
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对函数f(x)求导找极值f'(x)=2x-2a
=0 x=a 分情况讨论当a属于【1,2] 在x=a处取最值,当a不属于[1,2],在两端点处取最值
=0 x=a 分情况讨论当a属于【1,2] 在x=a处取最值,当a不属于[1,2],在两端点处取最值
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