Question

如图，三角形ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交角ACB的平分线于点

如图，三角形ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交角ACB的平分线于点E，交角ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE=OF .(2)若CE=12，CF=5，求OC的长.(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？

Answer 1

（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF=13，
∴OC=1/2‍ EF=6.5；

（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

Answer 2

解：
(1) M是AC中点 ==>MC = 1/2* AC
N是BC中点 ==> CN = 1/2* BC
∴ MN = MC+CN
=1/2(AC+BC)
=1/2*(6+4) =5(cm)
(2) 根据(1) 的推导
MN = 1/2(AC+BC)
=1/2*AB = a/2
(3) C 点若在AB直线上的任意位置
C在AB之间在前面已经进行了推导，假设C在B点外侧，则
M是AC中点 ==>MC = 1/2* AC
N是BC中点 ==> NC = 1/2* BC
MN = 1/2(AC-BC)
=1/2*AB
同理，C点在A点左侧时也有
MN =1/2 *AB
因此，对于AB直线上的任意点C，均有MN=1/2*AB
若AB=a，则MN=1/2*a