Question

设函数f(x)=-1/3x^3+x^2+(m^2-1)x (x∈R),其中m＞0

1）。当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的斜率。
（2）。求曲线的单调区间和极值。

Answer 1

1）。当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处切线的斜率。
解：f(x)=-1/3*x^3+x^2,
f'(x)=-x^2+2x,f'(1)=1，为所求。

（2）。求函数f(x)的单调区间和极值。
解：f'(x)=-x^2+2x+m^2-1
=-(x-1)^2+m^2
=-(x-1+m)(x-1-m),
由m>0知1-m<x<1+m时f'(x)>0,此外f'(x)<=0,
∴f(x)的增区间是（1-m,1+m),
减区间是(-∞，1-m],[1+m,+∞）。
f(1-m)=(1-m)[-1/3(1-m)^2+1-m+m^2-1]
=-1/3*(1+2m)(1-m)^2,是它的极小值，
f(1+m)=(1+m)[-1/3*(1+m)^2+1+m+m^2-1]
=-1/3*(1-2m)(1+m)^2, 是它的极大值。

Answer 2

（1）当m=1时，f（x）=- 1 3 x3+x2，f′（x）=-x2+2x，故f′（1）=1．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（2）f′（x）=-x2+2x+m2-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1-m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，1-m） 1-m （1-m，1+m） 1+m （1+m，+∞）
f′（x） - 0 + 0 -
f（x） 递增 极小值 递增 极大值 递减
所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
函数的极小值为：f（1-m）=- 4 3 m3+m2- 1 3 ；
函数的极大值为：f（1+m）= 2 3 m3+m2- 1 3 ．