Question

已知函数fx=alnx+1/x a>0 1.求单调区间和极值 2.对任意x>0 ax(2-lnx)<=1恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(1) f(x)=alnx+1/x，(x>0)
f`(x)=a/x-1/x^2=(ax-1)/x^2
解f`(x)=0得x=1/a
当x>1/a时f`(x)>0，当x<1/a时f`(x)<0
所以增区间为（1/a，正无穷大），减区间为（0,1/a）
(2)设g(x)=axlnx-2ax+1(x>0)
只需g(x)>=0恒成立
g`(x)=a(1+lnx)-2a=alnx-a
解g`(x)=0得x=e
当x>e时g`(x)>0，当x<e时g`(x)<0
所以e为g(x)最小值点
g(x)>=g(e)=1-ae
所以1-ae>=0
所以a的范围是(0，1/e,]

Answer 2

f'(x)=a/x -1/x^2 =0
ax-1=0
x=1/a
(1)极小值点f(1/a)=aln1/a +a=-alna+a
单调区间是(0,1/a]是单调减
[1/a,+无穷大)单调增
(2) ax(2-lnx)<=1
a(2-lnx)<=1/x
2a-alnx<=1/x
2a<=alnx+1/x =f(x)
2a<=-alna+a
a<=-alna
1<=-lna
1<=ln1/a
e<=1/a
0<a<=1/e