Question

∑(∞,n=1)nx^n收敛域及和函数

最近复习高数看到这道题目 请问大家做法？详细点谢谢！

Answer 1

令an=nx^n 由a(n)/a(n-1)=[n/(n-1)]*x<1可得
|x|<1 所以收敛域为：|x|<1
Sn=1x+2x^2+3x^3+...+nx^n
xSn=1x^2+2x^3+3x^4+...+nx^(n+1)
相减得：(1-x)Sn=x+x^2+....+x^n-nx^(n+1)
Sn=(x-x^(n+1)))/(1-x)^2-nx^(n+1)/(1-x)
取极限可得S=(x-0)/(1-x)^2-0/(1-x)=x/(1-x)^2
即和函数S=x/(1-x)^2

Answer 2

这类题目都是可以用求导或求积分的方式来求和。主要是为了消去系数，使之成为等比数列来求和。
记y=∑(∞,n=1)nx^n
则g=y/x=∑(∞,n=1)nx^(n-1)
两边积分：G=∑(∞,n=1)x^n+C=x/(1-x)+C,
再求导，得:g=1/(1-x)^2
因此y=xg=x/(1-x)^2, 收敛区间为|x|<1

Answer 3

另an=nx^(n-1) 由a(n+1)/an=(n/(n-1))*x<1可得
|x|<1 所以收敛域为：|x|<1
Sn=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
xSn=1x+2x^2+3x^3+...+nx^n
相减得：(1-x)Sn=1+x+x^2+....+x^(n-1)-nx^n
=1+(x(-1x^(n-1)))/(1-x)-nx^n
取极限可得S=1+x/(1-x)=1/(1-x) S即为和函数