Question

已知函数f(x)=2x²-(k²+k+1)x+15,g(x)=k²x-k,其中k∈R，（1）若f（

x）+g（x）≥0，对x∈[1,4），求实数k的取值范围 （2）设函数q（x）=g（x ）x≥0 f（x）x＜0是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）=q（x1）？若存在，则求出k

Answer 1

（1）令:h(x) = f(x) +g(x) = 2x² - (k+1)x +(15-k)>=0在[1,4)上恒成立
所以h(x)在[1,4)上的最小值大于等于0 ；
当：1<=(k+1)/4<4时，即 3<=k<15 应有：h((k+1)/4) = 15-k -(k+1)²/8 >=0,即 -17<=k<=7
则：3<=k<=7
当(k+1)/4<1时，即 k<3 应有：h(1) = 2 -(k+1)+(15-k) >=0,即 k<=8 则：k<3
当(k+1)/4>=4时，即 k>=15 应有：h(4) = 32 -4(k+1)+(15-k) >=0,即 k<=8 则：k<=8.6 舍去
综上所述的：k<=7
(2)题设要求，g(0)=f(0) 所以：15 = -k 则k=-15
代入：f(x) = 2x²-211x+15 = 2(x-211/4)²+15-211²/8 g(x) = 225x+15
所以f(x)在x<0上单调递减，g(x)在x>=0上单调递增
所以存在k=-15对于每个非零的实数x1>0(<0),存在唯一的非零实数x2<0(>0),使得q（x2）=q（x1）