Question

已知关于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0

（1）若该方程的根大于1，另一个根小于1，求实数m的取值范围
（2）若该方程的一根在区间（0,1）上，另一根在区间（1,2）上，求实数m的取值范围（0.1）内且他们的平方和为1，求实数m的取值集合
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Answer 1

解：
方程判别式△=[-2(m+1)]²-4·4·m=4m²-8m+4=4(m-1)²恒≥0，方程恒有实根。
设两根分别为x1，x2，由韦达定理得
x1+x2=2(m+1)/4=(m+1)/2
x1·x2=m/4
(1)
一根>1，另一根<1，则(x1-1)(x2-1)<0
x1x2-(x1+x2)+1<0
m/4 -(m+1)/2 +1<0
整理，得-m+2<0
m>2
(2)
对于二次函数f(x)=4x²-2(m+1)x+m
f(0)>0 f(1)<0 f(2)>0
f(0)>0 m>0
f(1)<0 4-2(m+1)+m<0 -m+2<0 m>2
f(2)>0 4·2²-2(m+1)·2+m>0 3m<12 m<4
综上，得2<m<4
(3)
两根在区间(0，1)内，对于二次函数f(x)=4x²-2(m+1)x+m
对称轴x=2(m+1)/4=(m+1)/2
两根均在区间(0，1)上，则对称轴在区间上，且f(0)>0 f(1)>0
0<(m+1)/2<1 解得-1<m<1
f(0)>0 解得m>0
f(1)>0 4-2(m+1)+m>0 -m+2>0 m<2
综上，得0<m<1
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=[(m+1)/2]²-2(m/4)=(m²+1)/4
x1²+x2²=1 (m²+1)/4=1
m²=3
m=-√3(舍去)或m=√3(舍去)
综上，得m无解。

Answer 2

已知关于x的方程4x²-2（m 1）x m=0 30分
（1）若该方程的根大于1，另一个根小于1，求实数m的取值范围
（2）若该方程的一根在区间（0,1）上，另一根在区间（1,2）上，求实数m的取值范围（0.1）内且他们的平方和为1，求实数m的取值集合
（1）△>=0
[-2(m 1)]²-4*4m>=0
4(m² 2m 1)-16m>=0,
4m²-16m 4≧0,
4(m²-4m 4-3)≧0,
4(m-2)²≧12,
m-2≧√3,m-2≦-√3.
m≧√3 2,
m≦-√3 2,

(2) △>=0 两根之和小于0 ，两根之积大于0
即m>=-1/2 (1)
m²>0 (2)
2(m 1)<0 (3)
由（2）得 m<>0
由（3）得 m<-1
∴-1/2<=m<-1