Question

线性代数的一道问题

A是数域F上的3阶矩阵。α是一个3维向量且α，Aα，(A^2)α线性无关。有等式A^3α=5A^2α-6Aα,求行列式|A^2+E|

Answer 1

设矩阵P=(α,Aα,(A^2)α)，则P是3阶方阵且可逆，AP=(Aα,A^2α,(A^3)α)=(Aα,A^2α,5A^2α-6Aα)=(α,Aα,(A^2)α)B，其中矩阵B=
0 0 0
1 0 -6
0 1 5
所以，(P逆)AP=B，A与B相似。
B的特征多项式|B-λE|=-λ(λ-2)(λ-3)，特征值是0,2,3。所以A的特征值也是0,2,3。

所以A^2的特征值是0,4,9，A^2+E的特征值是1,5,10，所以|A^2+E|=1×5×10=50。

Answer 2

由于题目等式可以验证
A^2α-5Aα-6α, A^2α-3Aα, A^2α-2Aα分别是对应于特征值0，2，3的特征向量

A的特征值是0，2，3
A^2+E的特征值是1，5，10，所以|A^2+E|=1*5*10=50

追问

也很谢谢你的回答。