Question

一道高中数学解答题，求详细的步骤

Answer 1

已知函数f(x)=ln[(1/2)+(1/2)ax]+x²-ax；(1)。若x=1/2是f(x)的一个极值点，求a的值；
(2)。求证：当0<a≦2时，f(x)在[1/2，+∞）上是增函数；(3)。若对任意的a∊(1，2)，总存在xo∊[1/2，1]，使不等式f(xo)>m(1-a²)成立，求m的取值范围。
解：(1)。f '(x)=(a/2)/[(1/2)+(1/2)ax]+2x-a=[a/(1+ax)]+2x-a；由于x=1/2是f(x)的极值点，故f ‘(1/2)
=a/(1+a/2)+1-a=2a/(a+2)+1-a=-(a²-a-2)/(a+2)=-(a-2)(a+1)/(a+2)=0，故得a₁=2，a₂=-1.
(2)。由于f '(x)=a/(1+ax)+2x-a=[2ax²-(a²-2)x]/(ax+1)=2x[x-(a²-2)/2a]/(x+1/a)，其中g(a)=(a²-2)/(2a)
是关于a的增函数，a→0limg(a)=-∞；g(√2)=0,；g(2)=1/2；故当0<a≦2时g(2)=1/2是g(a)的最大值，于是当a=2时有f '(x)=2x(x-1/2)/(x+1/2)，当x≧1/2时恒有f '(x)≧0，故f(x)在[1/2，+∞)上单调增。
(3)。当a∊(1，2)时,-4<1-a²<0；要使不等式f(xo)>m(1-a²)在区间[1/2，1]内成立，也就是要使不
等式m>f(xo)/(1-a²)在[1/2，1]内成立。设F(x)=f(x)/(1-a²)=[1/(1-a²)][ln[(1/2)+(1/2)ax]+x²-ax]；
令F'(x)=[1/(1-a²)][2x[x-(a²-2)/2a]/(x+1/a)]=0，得x₁=0，x₂=(a²-2)/2a；当1<a<√2时-1/2<x₂<0；当
a=√2时x₂=0；当√2<a<2时0<x₂<1/2；依题意，1/2≦xo≦1，因此只需考虑最后一种情况，即
√2<a<2时0<x₂<1/2的情况就可以了。此时x₂是F(x)的极大点；F(0)=ln(1/2)/(-1)=ln2；F(1/2)=
=(1/4-1)/(1-4)=1/4。故应取m>ln2；即m的取值范围为[ln2，+∞)

Answer 2