Question

已知ABC满足A>B>C,且A+B+C=0,若X1、X2为方程ax05+bx+c=0的两个实数解,

则X1²-X2²的绝对值的取值范围是

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c
f(1)=a+b+c=0, 因此x=1为其一个根， 由韦达定理，另一根为：c/a
由a>b>c, 因此a>0, c<0,
0=a+b+c>a+2c--> c/a<-1/2
0=a+b+c<2a+c--> c/a>-2
-2<c/a<-1/2--> 1/4<(c/a)^2<4
记g=x1^2+x2^2=1+(c/a)^2
则有： 5/4<g<5

x1=1，而且对称轴x=-b/2a,我们知道-1/2<-b/2a<1/4,所以，可以发现|x1^2-x2^2|的最大值，这时，x2>-2,
|x1^2-x2^2|<|1^2-(-2)^2|=3,当x1=-x2时，它取最小值0，
所以：0<|x1^2-x2^2|<3