Question

求x/sqrt(1+x-x^2)的积分

Answer 1

(1+x-x^2)'=1-2x
所以把原式化为
[-(1/2)(1-2x)+1/2]/sqrt(1+x-x^2)
=(-1/2)(1-2x)/sqrt(1+x-x^2)+(1/2)[1/sqrt(-(x-1/2)^2+5/4)]
第一个积分很简单，
令u=1+x-x^2
原式=(-1/2)du/u^(1/2)
积分=-u^(1/2)+C
=-sqrt(1+x-x^2)+C

第二个需要三角换元
(x-1/2)^2=(5/4)sin^2 t
为了简化假设0<t<pi/2
(x-1/2)=(根号5/2) sint
dx=(根号5/丛手2) cost dt
积分=(1/2)[(根号孙郑闹5/2) cost dt/sqrt[(5/4)cos^2 t]]
=(1/2)dt
=(1/2)t+C
=(1/2)arcsin[2(x-1/2)/根号5]
=(1/则罩2)arcsin[(2x-1)/根号5]+C

两式相加=(1/2)arcsin[(2x-1)/根号5]-sqrt(1+x-x^2)+C

追问

谢谢、我也做出了这个答案，可是正确答案上是没有1/2的

不好意思、找到错的点了、谢谢