Question

初中数学抛物线

已知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过原点，交x轴于点A，顶点B的坐标为（3，-√3） 1:求抛物线解析式及A点坐标。2:在抛物线上是否存在点Q，使三角形AQO与三角形AOB相似？写出推理过程，求出点Q坐标。

Answer 1

1、设点A坐标为(x，0)，对称轴为x=3，即-b/2a=3，把O(0,0)，B(3，-√3)代入y=ax²+bx+c求得：
a=√3/9，b=-2√3/3 c=0
所以解析式为y=(√3/9)x²-(2√3/3) x
当y=0时，(√3/9)x²-(2√3/3) x=0 求得x=0(O点横坐标)或x=6，所以点A坐标为（6，0）。
2、设点Q坐标为（x,y)，因OA=6根据两点间距离公式OB=AB=2√3,
可知∠OAB=∠AOB=30°，∠OBA=120°。
要使△AQO∽△AOB，须使∠AOQ=120°且OA=OQ，
据此，若存在点Q，则AQ所在直线与x轴夹角为150°，k=-√3/3，直线方程为y=-√3/3x+2√3。
√(x²+y²）=6....(1)
y=-√3/3x+2√3....(2)
解之，x=√21或x=-√21 可求出y=2√3-√7或y=2√3+√7。点Q坐标为（√21，2√3-√7）或（-√21，2√3+√7）

Answer 2

解:(1)把A,B坐标代入即可求得,a=-1/2;
b=1;y=-1/2x
2
＋x＋4

（2）另x=0,求得C（0，4）；对称轴为X=1；设出T点坐标为（1，x)，又有CT=AT，用两点间距离公式可以求得x=1，所以C点坐标是（1，1）

Answer 3

(1) 抛物线y=ax²+bx+c过原点
则 c=0
y=a(x+b/2a)²-b²/4a
由顶点B（3，-√3）
则 -b/2a=3
-b²/4a=-√3
得 b=-2√3/3，a=√3/9
抛物线解析式：y=√3/9x²-2√3/3x，A（6，0）
（2）△AOB为底角30°的等腰三角形
假设存在Q点，使AQ为底边，底角30°的等腰三角形
①设OQ直线方程为：y=√3/3x
解 y=√3/3x
y=√3/9x²-2√3/3x
得 x=9，y=3√3 Q点坐标为（9，3√3 ）
验证∠QAO=120°
tan∠QAX=3√3 /(9-6)=√3 直线QA与x轴正方向的夹角
∠QAX=60°
则 ∠QAO=180°- 60°=120°
②设OQ直线方程为：y=-√3/3x
解 y=-√3/3x
y=√3/9x²-2√3/3x
得 x=3，y=√3 Q点坐标为（-3，√3 ）
Q点与B点重合
故存在Q点，Q（9，3√3 ）