Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称。（1） 求证：f(x)是周期为4的函?

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称。（1） 求证：f(x)是周期为4的函数%D%A（2） 若f(x)=x^1/2 (0<x≤1),求x∈[-5,-4]时，f(x)的解析式

Answer 1

（1）因为f(x)的图象关于x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x+1)=-f(x-1).
所以f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以f(x)是周期为4的函数.
（2）x∈[-5,-4]时，x+4∈[-1,0]
-x-4∈[0,1].
x∈[-5,-4]时，f(x)=f(x+4)=-f(-x-4)=-√(-x-4).

Answer 2

（1）因为f(x)的图象关于x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x+1)=-f(x-1).
所以f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以f(x)是周期为4的函数.
（2）x∈[-5,-4]时，x+4∈[-1,0]
-x-4∈[0,1].
x∈[-5,-4]时，f(x)=f(x+4)=-f(-x-4)=-√(-x-4).
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