Question

线代行列式:对角线分别是a和b，其余均为0，如图，谢了

Answer 1

先讨论为偶数(n)阶方阵的情况（此时两个对角线无重叠）
利用代数余子式求行列式，
先对第一行展开有a| 0|- b |0 | a在偶数位置，b在奇数位置
 | 0| |0 |
|0 0 a| |b 0 0|
未画出的为n-2阶的同形矩阵
a位于(n-1,n-1)处,b位于(1.n-1)处 代数余子式的均取正.
所以Det(n)=(a^2-b^2)G(n-2)
显然代入n=2时行列式为a^2-b^2
有 Det(n)=(a^2-b^2)^(n/2)
那么对于奇数阶矩阵呢？
首先奇数阶中对角线有一个交点((n+1)/2,(n+1)/2)
在此点处因重新定义一个新的值c，否则无法继续
而注意c所在的行列均只有一个值，因此对c所在行（列）用代数余子式展开
有Det(n)=c*Det(n-1) （c总是处于偶数位）
于是我们又转化为了偶数阶矩阵的求值问题了
综上
Det(n)=(a^2-b^2)^(n/2) n为偶
(a^2-b^2)^((n-1)/2)*c n为奇 c为矩阵中间需要定义的一个值

Answer 2

那, 行列式应该是偶数2n阶的

按第1列展开
D2n = (a^2-b^2) D2(n-1)
= (a^2-b^2)^2 D2(n-2)
= ...
= (a^2-b^2)^(n-1) D2
= (a^2-b^2)^n