Question

无穷级数证明

求一次不符合的答案

Answer 1

(A) 对n > 1, 取u[n] = (-1)^n/ln(n).
则级数∑u[n]是交错级数, 通项绝对值单调趋于0.
根据Leibniz判别法, 级数∑u[n]收敛.
但∑(-1)^n·u[n]/n = ∑1/(n·ln(n))是一个发散级数(Cauchy积分判别法)

(B) 取u[n] = (-1)^(n-1)/n.
类似上面, 由Leibniz判别法, ∑u[n]收敛.
但∑(u[2n-1]-u[2n]) = ∑(1/(2n-1)+1/(2n)) = ∑1/n, 是发散级数(调和级数).

(C) 取u[n] = (-1)^n/√n.
同样, 由Leibniz判别法, ∑u[n]收敛.
但∑u[n]² = ∑1/n是发散级数.

(D) 由∑u[n]收敛, 易知∑u[n+1]也收敛.
两个收敛级数的和仍收敛, 故∑(u[n]+u[n+1])收敛.