Question

如图，三角形ABC为等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、CO 的垂直平分线交于

如图，三角形ABC为等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、CO 的垂直平分线交于点E和点F，垂足分别为点M、N。 求证:BE =EF =FC

Answer 1

连接OE、OF
因为E、F分别为OB和OC的垂直平分线与BC的交点
所以BE=OE，CF=OF
因为OB是等边三角形ABC中∠ABC的平分线
所以∠OBC=30°
因为OB=OE
所以∠BOE=∠OBC=30°
所以∠OEF=∠BOE+∠OBC=60°
同理∠OFE=∠COF+∠OCB=60°
所以三角形OEF是等边三角形
所以OE=OF=EF
因为BE=OE，CF=OF
所以BE=EF=FC

Answer 2

连接OE、OF，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵O、CO分别平分∠ABC。∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵ME、NF分别垂直平分OB、OC，

∴OE=BE，OF=CF，
∴∠EOB=∠FOC=30°，
∴∠OEF=∠OFE=60°，
∴ΔOEF是等边三角形，
∴OE=OF=EF，
即BE=EF=CF。

Answer 3

连接OE,OF，因为ME,MF是中垂线，所以BE=OE,CF=OF.因为OB.OC是角平分线，所以角OBC等于OCB等于30度，因为三角形OBE等腰，所以角OEB等于角BOE等于30度，外角OEC等于60度。易知三角形OEF中OE等于OF，所以OEF等边。所以EF=OF=OE=BE=CF

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