Question

如图，点A F C D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF

如图，点A F C D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC 1求证，四边形BCEF是平行四边形 2若∠ABC=90º，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是凌形？

Answer 1

证明：连接BE，交CF与点G，
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠A=∠D，AB=DE ，
∴△ABC≌DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=√AB²+BC² =5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴BC∶AC =CG ∶BC，
即3∶5 =CG∶3 ，
∴CG=9/5 ，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=18/5，
∴AF=AC-FC=5-18/5=7/5 ，
∴当AF=7/5 时，四边形BCEF是菱形．

Answer 2

（1）证明：因为AB=DE
角A=角D
AF=DC
所以三角形ABF全等三角形DEC (SAS)
所以BF=CE
角AFB=角DCE
因为角AFB+角BFC=180度
角DCE+角ECF=180度
所以角BFC=角ECF
所以BF平行CE
所以四边形BCEF是平行四边形
（2）解：连接BE交CF于O
因为四边形BCEF是菱形
所以BF=BC
OF=OC=1/2CF
角BOF=90度
所以三角形BOF是直角三角形
所以BF^2=OB^2+OF^2
S三角形ABC=1/2AC*OB
因为角ABC=90度
所以三角形ABC是直角三角形
所以AC^2=AB^2+BC^2
S三角形ABC=1/2AB*AC
因为AB=4 BC=3
所以AC=5
S三角形ABC=6
所以1/2AC*OB=6
OB=12/5
OF=9/5
CF=18/5
因为AC=AF+CF
所以AF=7/5
所以当AF=7/5时，四边形BCEF是菱形