Question

中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O． (1)求证：△ABN≌

中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．
(1)求证：△ABN≌△CDM；
(2)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，
∵M、N分别是AD，BC的中点，
∴BN=DM，
∵在△ABN和△CDM中，
AB=CD
∠B=∠CDM
BN=DM，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，
∴MN=MD=12‍ AD，
∴∠1=∠MND，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠CND，
∵∠1=∠2，
∴∠MND=∠CND=∠2，
∴PN=PC，
∵CE⊥MN，
∴∠CEN=90°，
∴∠2=∠PNE=30°，
∵PE=1，
∴PN=2PE=2，
∴CE=PC+PE=3，
∴CN= CEcos30° =2√3‍ ，
∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，
∴△CNM是等边三角形，
∵△ABN≌△CDM，
∴AN=CM=2√3‍ ．
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