Question

如图，圆O的直径AB=4，角ABC=30°，BC=4根号3，点D是线段BC的中点，试判断点D与圆O的位置关系，并说明理由

如图，圆O的直径AB=4，角ABC=30°，BC=4根号3，点D是线段BC的中点，试判断点D与圆O的位置关系，并说明理由

Answer 1

如图,E为BC与圆的交点,连接AE,可知,角AEB为直角.

因为,已知直径AB=4,角ABE为30°,则有AE=2,BE=2又根号3.

又因为BC=4又根号3,则可知E为BC的中点,所以,三角形AEC与三角形AEB相等,因O为AB的中点,D为AC的中点,所以,O与D的关系是以AE为轴的对称点.即:O与D为等腰三角形ABC两腰的中点.

Answer 2

解：点D在⊙O上。
理由：
设BC与⊙O的交点为E，连接AE
∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°
∵∠ABC=30°
∴AE=1/2AB=2，BE=√3AE=2√3
∵BC=4√3
∴BE=1/2BC
∵D为BC中点
∴D、E重合
∴点D在⊙O上

Answer 3

D在圆O上
利用余弦定理可以求出AD=2,进一步可得三角形ABD为一内角为30度的直角三角形，连结OD可得OD=2，故D在圆O上

Answer 4

连接AD，则AD⊥BC，
∴在直角△ABD中，∵∠ABC=30°，∴AD等于AB的一半，即AD=2，
那么BD=2根号3，
又∵BC=4根号3，D是线段BC的中点，
∴D点在圆O上。

Answer 5

D在圆上，理由如下
设CB交圆O于H，连接AH
因为 ∠ABC=30，AB=4
所以 HB=2倍的根号3
又因为 BC=4根号3
所以 H为CB中点
且 点D是线段BC的中点
所以 D在圆上

Answer 6

证明：设圆与BC的交点为E，连接AE
因为AB是直径，
所以角AEB=90度
在直角三角形中，角ABC=30°，AB=4
所以AE=2，
所以BE=根号（4^2-2^2）=2根号3
而BC=4根号3
所以E是BC的中点
因为点D是线段BC的中点
所以D,E重合
即D是BC的中点