Question

高中数学大神 若mx²+x+1≥0恒成立,求m的取值范围，求过程及解释，谢谢

答案：m∈[¼，+无穷）

Answer 1

当m=0时，是一次函数，显然不可能恒大于0
当m＞0时，要使
mx²+x+1≥0恒成立
只要▽=b²-4ac≤0
1-4m≤0
m≥1/4
当m＜0时
为开口向下的抛物线，不可能恒大于0
综上
m∈[¼，+无穷）

追问

为什么要△≤0呢？

追答

因为小于等于表示与x轴有一个交点或没有交点，一个开口向上的抛物线与x轴没有交点或有一个交点不是恒大于等于0吗

Answer 2

首先m大于0，否则开口向下，不可能恒成立。

m大于0时，最小值为当x=-b/2a=-1/sm时的取值4ac-b^2=4m-1

保证恒成立，只要最小值大于等于零即可。
即4m-1》0
m》1/4

Answer 3

用变参分离做。
左边保留m，右边则是保留x
得到m>=-1-x/(x^2)
又已知是恒成立，则m要大于右边函数的最大值
易知-1-x/(x^2)的最大值为四分之一
答案就出来了

Answer 4

mx²+x+1≥0恒成立
则
m>0, Δ=1-4m<=0
m>=1/4

m∈[¼，+无穷）