Question

高中数学证明一个函数是增函数

求证 f(x)=x/(x^2-1) 在 x∈（-1，1）区间是增函数。

上面的是原题，但是我解完发现不是增函数。请问是我错了吗？求过程！

Answer 1

按照增函数的定义来证明嘛！
令x1＜x2∈(-1,1)
则，f(x1)-f(x2)=[x1/(x1²-1)]-[x2/(x2²-1)]
=[x1*(x2²-1)-x2*(x1²-1)]/[(x1²-1)(x2²-1)]
=(x1x2²-x1-x2x1²+x2)/[(x1²-1)(x2²-1)]
=[x1x2(x2-x1)+(x2-x1)]/[(x1²-1)(x2²-1)]
=[(x1x2+1)(x2-x1)]/[(x1²-1)(x2²-1)]
已知x1＜x2∈(-1,1)
则，x1x2∈(-1,1)，那么：x1x2+1∈(0,2)＞0
x2-x1＞0
(x1²-1)＜0，(x2²-1)＜0
所以，f(x1)-f(x2)=[(+)*(+)]/[(-)*(-)]＞0
即，f(x1)＞f(x2)
所以，f(x)在(-1,1)上是减函数！

Answer 2

任取x1,x2∈（-1，1），x1<x2

f(x1)-f(x2)=x1/(x1^2-1) -x2/(x2^2-1)
=x1(x2^2-1)-x2(x1^2-1)/[x1^2-1)(x2^2-1)
=（x1x2+1）(x2-x1)/[x1^2-1)(x2^2-1)
因为x1,x2∈（-1，1）
x1^2<1,x2^2<1，x1*x2+1>0
x2>x1
所以f(x1)-f(x2)>0
看来是减函数

你的满意是我继续的动力！请采纳！

Answer 3

是增函数。

追问

你的脱式第3行计算有误，上面是-x1-x2，最后求得是减函数

Answer 4

题目错了
你给的函数在（-1,1）是减函数

Answer 5

f(x)=x/(x^2-1)

追问

这是和我书上一模一样的解答，但是我觉得有错啊。
再说你的步骤有明显问题。
既然-1＜X1＜X2＜1，那如果f(x1)-f(x2）＞0的话，这不就是单调减函数了么？

追答

你最后一个问题是肯定的答案，这个是单调函数的定义。我敲错字了。