Question

什么是震荡间断点

Answer 1

振荡间断点是指当函数f(x)趋向于x0时，极限不稳定存在的点。你说的sin(1/x)在x=0处是典型的极限不稳定存在的例子。

那么如何区分（1）第一类间断点和第二类间断点呢？
（2）第二类间断点中的无穷振荡点和振荡间断点呢？
其实只要把握好本质上区别就好。
解答（1）第一类就是左右极限都存在。但是不等于该点的函数值，左右极限也相等时，称为可去间断点；不相等时，为跳跃间断点。
解答（2）第二类就是左右极限有一个不存在。
第二类又可分为两类：即无穷间断点和振荡间断点。这二者的区分也是很显然的。无穷间断点，要求极限值一直保持无穷大。而振荡间断点在趋近它的时侯，取值在不断的变化，不一定为无穷。
用你的例子：sin1/x x趋向0的过程中，一旦x=1/(2kpi+pi/2)时，取值是不为无穷的，而且一直在波动。因此不属于无穷间断点。那当然也就是振荡间断点咯…

Answer 2

不是第一类间断点的点为第二间断点，即左右极限至少有一个不存在。第二类间断点又有无穷间断点和振荡间断点，如上图所示。

内容拓展：

• 名称：振荡间断点。

• 类型：第二类间断点。

• 学科：高等数学。

• 例：函数 y=sin(1/x)在x=0处无定义；当x趋向于0时，函数值在-1和+1之间变动无限多次，如上图所示，所以 x=0称为 函数 sin(1/x) 的 “振荡间断点”。

参考资料

同济大学数学系.高等数学.上海：同济大学数学系，2007

Answer 3

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