Question

第二小问应该怎么做？求解答过程。

Answer 1

 

Answer 2

答案：解析：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，b=a+c
∵△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2
当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）令g(x)=f(x)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]，则g(x1)=f(x1)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=
f(x1)-f(x2)
2
g(x2)=f(x2)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=
f(x2)-f(x1)
2
，
∴g(x1)?g(x2)=-
1
4
[f(x1)-f(x2)]2＜0，(∵f(x1)≠f(x2))
∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根．即?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）min=0
∴-
b
2a
=-1，
4ac-b2
4a
=0?b=2a，b2=4ac?4a2=4ac?a=c
由②知对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
1
2
(x-1)2
令x=1得0≤f（1）-1≤0?f（1）-1=0?f（1）=1?a+b+c=1
由
a+b+c=1
b=2a
a=c
得a=c=
1
4
，b=
1
2
，
当a=c=
1
4
，b=
1
2
时，f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
=
1
4
(x+1)2，其顶点为（-1，0）满足条件①，又f(x)-x=
1
4
(x-1)2?对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
1
2
(x-1)2，满足条件②．
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．