Question

计算下列行列式（要过程）

Answer 1

r1+r2+...+rn,提出公因子
∑*|1 1 1 1 ....... 1|
2 3 4 5 ....... 1
3 4 5 6 ....... 2
......................
n 1 2 3 ....... n-1
c2-c1、c3-c1、...、cn-c1
∑*|1 0 0 0 ....... 0|
2 1 2 3 ....... -1
3 1 2 3 ......... -1
......................
n 1-n 2-n 3-n ........ -1
按第一行展开
∑*|1 2 3 ......... -1| 【这是 n-1阶的了】
1 2 3 ........ -1
1 2 3 ....... -1
..............
1-n2-n3-n ....... -1
c1+c(n-1)*(1-n)、c2+c(n-1)*(2-n)、...、c(n-2)+c(n-1)*(-2)
∑|n n n .......... n -1|
n n n .......... 0 -1
n n n .......... 0 -1
.....................
n n 0 ......... 0 -1
n 0 0 .......... 0 -1
0 0 0 .......... 0 -1
把第n行换到第一行、第n列换到第一列（不论是多少次肯定是个偶数！）
∑|-1 0 0 .... 0 0 0|
-1 n n .... n n n
-1 n n .... n n 0
...................
-1 n n .... 0 0 0
-1 n 0 .... 0 0 0
r2-r3、r3-r4、...r(n-2)-r(n-1)、r(n-1)-r1
∑|-1 0 0 ... 0|
0 0 0 ... n
0 0 0 ... 0
................
0 n 0 ... 0
=-[n(n+1)/2]*{(-1)^(1+n)(n-2)+2}*n^(n-2)
=[(-1)^(n^2-n+1)]*[n(n+1)/2]*n^(n-2)