Question

高数C微积分题目

设f(x)在(-∞,+∞)上可导，且f '(0)=a. 又对任意x，y∈(-∞,+∞)，有f（x+y）= [ f(x)+f(y) ] / [1-f(x)f(y)]，求f（x）.

Answer 1

解： 首先对等式两端x 求导数 并变形有 (下面用f''(x) 表示一阶导数 ^2 表示平方)
f''(x+y) (1-f(x)f(y))^2 /(1+ f(x)^2) = f''(x)
对等式两端y 求导数 并变形有
f''(x+y) (1-f(x)f(y))^2 /(1+ f(x)^2) = f''(y)
由此可知 对任意x,y 有 f''(x) = f''(y)
故f''(x) = f''(0) = a;
故f(x) = ax + c(c 为常数)

追问

原来''表示一阶导，让我看了半天......还有第一个等式是
f''(x+y) (1-f(x)f(y))^2 /(1+ f(y)^2) = f''(x) 吧？

追答

我刚刚算了一下 的确是我算错了。那这道题就变为了
f''(y)/(1+ f(y)^2 ) = f''(x)/(1+ f(x)^2)
于是 f''(0)/(1+ f(0)^2 ) = f''(x)/(1+ f(x)^2)；
f(0) =2f(0)/(1-f(0)^2) 得 f(0) = 0;
于是f''(0 ) = a = f''(x)/(1+ f(x)^2)
f''(x) = a((1+ f(x)^2));
求解这个常微分方程即可 arctan(f(x)) = ax+c;
f(x) = tan(ax +c )
又 f(0) = 0 c = 0
f(x) = tan ax

Answer 2

tan（ax）

追问

tan(ax)在R上可导？

追答

哦我错了，我见的那道题有定义域限制

Answer 3

th（ax）对不对

追问

没学过，而且别靠猜啊……

追答

就是双曲正切