已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有f(m)+f(n)m+n>0

已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有f(m)+f(n)m+n>0,若f(x)≤t2-2at+1对所有x... 已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有f(m)+f(n)m+n>0,若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],t∈[0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______. 展开
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小刘职场17
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任取-1≤x1<x2≤1,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
f(x1)+f(?x2)
x1?x2
?(x1-x2
∵-1≤x1<x2≤1,∴x1+(-x2)≠0,
由已知
f(x1)+f(?x2)
x1?x2
>0,又x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在[-1,1]上为增函数.
∵f(1)=1,∴对x∈[-1,1],恒有f(x)≤1.
所以要使f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],t∈[0,1]恒成立,
即要t2-2at+1≥1成立,故t2-2at≥0成立.
∵t∈[0,1],
∴t≠0时2a≤t,即a≤
t
2
,解得a∈(-∞,0].
t=0时,a∈R,
综上,a∈(-∞,0].
故答案为:(-∞,0].
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