Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG。 （1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵CD⊥AB于E，∠A=30°， ∴ ， ∵CD=AC， ∴ 即E为CD中点， ∴DG=CG，BC=BD， ∴∠DGE=∠CGE， ∵DF∥BC， ∴∠DGE=∠GBC， ∴∠GBC=∠CGE， ∴CG=BC， ∴DG=CG=BC=BD， ∴四边形BCGD是菱形； （2）∵∠A=30°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°，AB=2BC=2， ∵CG=BC， ∴△CGB为等边三角形， ∴GB=BC=1， ∴AG=AB-BG=1， ∵DF∥BC， ∴∠AFD=∠ACB=90°， ∴ ∵DG=BC=1， ∴ 。